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Problem 5283. -- [CodePlus 2018 3 月赛]博弈论与概率统计

5283: [CodePlus 2018 3 月赛]博弈论与概率统计

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Description

大家的好朋友小 L 来到了博弈的世界。Alice 和 Bob 在玩一个双人游戏。每一轮中,Alice 有 p 的概率胜利,1
-p 的概率失败,不会出现平局。双方初始时各有 0 分,当一个人胜利的时候,他会获得一分,失败则扣掉一分。
遗憾的是,博弈论世界的人目前是无法理解负数的,因此,如果某个人输掉一轮比赛的时候他只有 0 分,那么他
就不会被扣分(对方会照常加一分)。游戏一共要进行 N+M 轮,Alice 想请你帮她算算在游戏结束时她的得分的
数学期望。"这算啥,我小 L 分分钟搞定!"。比小 L 更熟练的你当然也是随手就算出来了,但就在你打算告诉 A
lice 答案之前,博弈论世界之神--temporaryDO 出现了,他给大家带来了一个重要信息:这 N+M 轮游戏中, Ali
ce 恰好赢了 N 轮!熟知条件概率那套理论的你立刻注意到,你需要修改自己的计算方法来得到正确的答案了。为
了避免精度问题,请将结果对 10^9+7 取模。即,我们的数据保证答案是一个有理数 p/q ,且有 10^9+7与q互质
,你只需要找到一个整数 x∈[0,10^9+7) 使得 qx≡p(mod 10^9+7) 即可。

Input

输入的第一行包含两个正整数 T, P'
其中 T 表示数据组数,P'/1000 表示 p ,即 Alice 在每轮游戏中的获胜概率。
接下来 T 行,每行两个非负整数 N,M,表示一组数据。
N+M,T≤2.5×10^5, 0<P′<1000

Output

输出 T 行,每行一个整数,表示对应数据的答案。

Sample Input

3 500
1 1
2 3
4 4

Sample Output

500000004
200000002
728571435
样例 1 解释
每一轮游戏 Alice 均有 1/2 的概率胜利。
对于第一组数据,Alice 的胜利可能在第一轮或第二轮,并且概率相等。
若她在第一轮胜利,则最终得分为 0,否则她的得分为 1。故期望为 1/2,验证发现 2×500000004≡1(mod10^9+7)。
对于第二组数据,所求期望为 3/5。

HINT

来自 CodePlus 2018 3 月赛,清华大学计算机科学与技术系学生算法与竞赛协会 荣誉出品。

Credit:idea/吕欣 命题/吕欣 验题/陈俊锟

Git Repo:https://git.thusaac.org/publish/CodePlus3

感谢腾讯公司对此次比赛的支持。


Source

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